Die Mengenlehre geht auf Georg Cantor zurück, der die Menge folgendermaßen definierte:
"Unter einer Menge verstehen wir jede Zusammenfassung von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen".
Die Objekte werden als Elemente der Menge bezeichnet.
Zahlenmengen haben nun Zahlen als Elemente.
Hier sollen nur die Grundmengen betrachtet werden. Sie werden durch einen Buchstaben mit Doppelstrich gekennzeichnet.
Zwar gibt es die meisten Zeichen im Unicode-Satz, aber die Darstellung ist zu unterschiedlich. Deshalb werden sie hier als Graphik eingebunden.
Natürliche Zahlen
Die Natürlichen Zahlen sind die Zahlen, mit denen Dinge abgezählt werden können.
Zum Streitfall wird dabei, ob die Null dazugehören soll oder nicht. Aber ohne Null würde das Stellenwertsystem nicht funktionieren. Deshalb ist sie mitzuberücksichtigen. ={0, 1, 2, 3, ...}
Mit den Natürlichen Zahlen kann uneingeschränkt addiert und multipliziert werden.
Potenzieren hat eine Einschränkung: Null hoch null ist nicht definiert.
Subtrahieren und dividieren ist eingeschränkt möglich.
Ganze Zahlen
Zu jeder Natürlichen Zahl gibt es einen negativen Gegenwert. Alle zusammen sind Elemente der Ganzen Zahlen.
Die Natürlichen Zahlen sind somit eine Teilmenge der Ganzen Zahlen. ={0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, ...}
Mit den Ganzen Zahlen kann uneingeschränkt addiert, subtrahiert und multipliziert werden.
Beim Potenzieren sind keine negativen Exponenten erlaubt, und null hoch null auch nicht.
Dividieren ist eingeschränkt möglich.
Rationale Zahlen
Das Problem der Division wird hier weitgehend gelöst.
ℚ={x=a/b | a∈ℤ ∧ b∈ℤ ∧ b≠0}
Die Menge ist noch abzählbar, aber die Darstellung in einer Textdatei wird zu unübersichtlich.
Mit den Rationalen Zahlen kann uneingeschränkt addiert, subtrahiert und multipliziert werden.
Bei der Division darf der Nenner nicht null sein. Beim Potenzieren sind nur ganzzahlige Exponenten erlaubt, null hoch null ist weiterhin nicht definiert.
Irrationale Zahlen
Diese Menge wird ungern behandelt, da sie nur die Differenzmenge aus Reellen und Rationalen Zahlen ist.
Also jede Relle Zahl, die nicht rational ist, ist irrational.
Dazu gehören viele Wurzeln und Logarithmen, aber auch Zahlen wie e oder π.
Die Menge der Irrationalen Zahlen ist nicht eigenständig verwendbar, sondern stellt nur das Komplement zu den Rationalen Zahlen dar.
Reelle Zahlen
Die Menge der Reellen Zahlen umfaßt alles, was mit einem einfachen konkreten Zahlenwert darstellbar ist.
Hier sind nun auch Sonderfunktionen möglich.
Da bleibt die Frage: Was geht auch im Bereich der Reellen Zahlen nicht?
Radizieren (mit wenigen Ausnahmen) und Logarithmieren von negativen Zahlen, dividieren durch 0 und die Potenz null hoch null.
Komplexe Zahlen
Es wird eine Imaginäre Einheit festgelegt, mit der Bedingung i²=-1.
Komplexe Zahlen besitzen einen Realteil und einen Imaginärteil, die zueinander addiert eine komplexe Zahl ergeben.
Ist ein Anteil 0, so wird er nicht mitgeschrieben.
Verschiedene Rechenoperationen werden durch verschiedene Darstellungen optimiert.
kartesische Form: x+iy, geeignet für Addition und Subtraktion.
Polarform: r·(cosφ +i·sinφ), geeignet für Multiplikation und Division.
Eulersche Form: r·e^(iφ), geeignet für die höheren Rechenarten.
Sind hier jetzt alle Beschränkungen beseitigt? Nein, aber die lösbaren Probleme sind gelöst.
Tabelle der Mengenbuchstaben
Menge der Natürlichen Zahlen
Menge der Ganzen Zahlen
Menge der Rationalen Zahlen
Menge der Irrationalen Zahlen
Menge der Reellen Zahlen
Menge der Komplexen Zahlen
Wenn man I aus der Betrachtung ausschließt, ist jede Menge eine Teilmenge der nächstgrößeren, wobei ℂ die größtmögliche Zahlenmenge ist.
