Allgemeines zu Zahlensystemen am Beispiel des Hexadezimalsystems

binäre Codierung

Die binäre Codierung wird im allgemeinen für die maschinelle Rechnung im Dezimalsystem verwendet.
Entsprechend gibt es mehrere Ansätze, denen nur die Ziffern (0 bis 9) gemeinsam sind.

Hier ein paar Beispiele:

Binärcode	0000	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111	1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111
Dezimalwert	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
Hexadezimalcode	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B (b)	C	D (d)	E	F
TI7448	0	I	2	3	4	5	6	7	8	9	⊏	⊐	⊔	⊑	ᖶ
alternativer Entwurf	0	I	2	3	4	5	6	7	8	9	H	E	┓	⊐	-

Die leeren Zellen stehen für eine unterdrückte Anzeige, das Minuszeichen hat im alternativen Entwurf einen eigenen Code erhalten.
Das H steht für das Zeichen X, das mit einer 7-Segment-Anzeige nicht dargestellt werden kann, das E für eine umgedrehte 3.
Die Zeichen ┓ und ⊐ sind Zufallsprodukte, die sich gut auf die frei belegbaren Plätze einfügen.
Die Kleinbuchstaben b und d werden verwendet, um eine Verwechslung mit den Ziffern 8 und 0 zu vermeiden.

nicht negative Ganzzahl

"Nicht negativ" heißt positiv oder Null.
Die Werte 0 bis 15 sind bereits in obiger Tabelle ablesbar, eine weitergehende Auswahl erfolgt hier:

dezimal	16	32	64	128	256	512	1000	1024	4096	65536	1000000	1048576
hexadezimal	10	20	40	80	100	200	3E8	400	1000	10000	F4240	100000

Addition

+	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F
0	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F	10
2	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F	10	11
3	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F	10	11	12
4	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F	10	11	12	13
5	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F	10	11	12	13	14
6	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F	10	11	12	13	14	15
7	7	8	9	A	B	C	D	E	F	10	11	12	13	14	15	16
8	8	9	A	B	C	D	E	F	10	11	12	13	14	15	16	17
9	9	A	B	C	D	E	F	10	11	12	13	14	15	16	17	18
A	A	B	C	D	E	F	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19
B	B	C	D	E	F	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	1A
C	C	D	E	F	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	1A	1B
D	D	E	F	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	1A	1B	1C
E	E	F	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	1A	1B	1C	1D
F	F	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	1A	1B	1C	1D	1E

Multiplikation

·	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F
2	2	4	6	8	A	C	E	10	12	14	16	18	1A	1C	1E
3	3	6	9	C	F	12	15	18	1B	1E	21	24	27	2A	2D
4	4	8	C	10	14	18	1C	20	24	28	2C	30	34	38	3C
5	5	A	F	14	19	1E	23	28	2D	32	37	3C	41	46	4B
6	6	C	12	18	1E	24	2A	30	36	3C	42	48	4E	54	5A
7	7	E	15	1C	23	2A	31	38	3F	46	4D	54	5B	62	69
8	8	10	18	20	28	30	38	40	48	50	58	60	68	70	78
9	9	12	1B	24	2D	36	3F	48	51	5A	63	6C	75	7E	87
A	A	14	1E	28	32	3C	46	50	5A	64	6E	78	82	8C	96
B	B	16	21	2C	37	42	4D	58	63	6E	79	84	8F	9A	A5
C	C	18	24	30	3C	48	54	60	6C	78	84	90	9C	A8	B4
D	D	1A	27	34	41	4E	5B	68	75	82	8F	9C	A9	B6	C3
E	E	1C	2A	38	46	54	62	70	7E	8C	9A	A8	B6	C4	D2
F	F	1E	2D	3C	4B	5A	69	78	87	96	A5	B4	C3	D2	E1

Logisch UND (gibt es nur im Dual- und darauf aufbauenden Systemen)

∧	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1
2	0	2	2	0	0	2	2	0	0	2	2	0	0	2	2
3	1	2	3	0	1	2	3	0	1	2	3	0	1	2	3
4	0	0	0	4	4	4	4	0	0	0	0	4	4	4	4
5	1	0	1	4	5	4	5	0	1	0	1	4	5	4	5
6	0	2	2	4	4	6	6	0	0	2	2	4	4	6	6
7	1	2	3	4	5	6	7	0	1	2	3	4	5	6	7
8	0	0	0	0	0	0	0	8	8	8	8	8	8	8	8
9	1	0	1	0	1	0	1	8	9	8	9	8	9	8	9
A	0	2	2	0	0	2	2	8	8	A	A	8	8	A	A
B	1	2	3	0	1	2	3	8	9	A	B	8	9	A	B
C	0	0	0	4	4	4	4	8	8	8	8	C	C	C	C
D	1	0	1	4	5	4	5	8	9	8	9	C	D	C	D
E	0	2	2	4	4	6	6	8	8	A	A	C	C	E	E
F	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F

Logisch ODER (gibt es nur im Dual- und darauf aufbauenden Systemen)

∨	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F
0	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F
1	1	1	3	3	5	5	7	7	9	9	B	B	D	D	F	F
2	2	3	2	3	6	7	6	7	A	B	A	B	E	F	E	F
3	3	3	3	3	7	7	7	7	B	B	B	B	F	F	F	F
4	4	5	6	7	4	5	6	7	C	D	E	F	C	D	E	F
5	5	5	7	7	5	5	7	7	D	D	F	F	D	D	F	F
6	6	7	6	7	6	7	6	7	E	F	E	F	E	F	E	F
7	7	7	7	7	7	7	7	7	F	F	F	F	F	F	F	F
8	8	9	A	B	C	D	E	F	8	9	A	B	C	D	E	F
9	9	9	B	B	D	D	F	F	9	9	B	B	D	D	F	F
A	A	B	A	B	E	F	E	F	A	B	A	B	E	F	E	F
B	B	B	B	B	F	F	F	F	B	B	B	B	F	F	F	F
C	C	D	E	F	C	D	E	F	C	D	E	F	C	D	E	F
D	D	D	F	F	D	D	F	F	D	D	F	F	D	D	F	F
E	E	F	E	F	E	F	E	F	E	F	E	F	E	F	E	F
F	F	F	F	F	F	F	F	F	F	F	F	F	F	F	F	F

negative Ganzzahl

Bei der Darstellung negativer gibt es neben dem Standard auch eine zirkulare Darstellung. Hierbei wird der verfügbare Wertebereich in zwei etwa gleich große Anteile geteilt,
also eine Hälfte die nicht negativen Zahlen, die andere Hälfte die negativen Zahlen.
In der nachfolgenden Tabelle werden beide Varianten aufgestellt:

dezimal	-1	-2	-3	-7	-15	-16	-64	-255	-256	-65536	-16777216	-268435456	-2147483648
hexadezimal Standard	-1	-2	-3	-7	-F	-10	-40	-FF	-100	-10000	-1000000	-10000000	-80000000
hexadezimal 32 bit zirkular	FFFFFFFF	FFFFFFFE	FFFFFFFD	FFFFFFF9	FFFFFFF1	FFFFFFF0	FFFFFFC0	FFFFFF01	FFFFFF00	FFFF0000	FF000000	F0000000	80000000

32 Bit erlauben einen Wertebereich von -2147483648 bis 2147483647 (Angaben dezimal), bei Ausschluß negativer Werte von 0 bis 4294967295.

Für die Logisch-Nicht-Tabelle wird die Standardform gewählt, um Dimensionierungsunterschiede unwichtig zu machen:

x	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F	x
¬x	-1	-2	-3	-4	-5	-6	-7	-8	-9	-A	-B	-C	-D	-E	-F	-10	-(x+1)
4-Bit- Komplement	F	E	D	C	B	A	9	8	7	6	5	4	3	2	1	0	F-x \| 0 ≤ x ≤ F

Hexadezimalbrüche

Analog zu den "Dezimalbrüchen" sind vergleichbare Bruchsummen auch in allen anderen Stellenwertsystemen möglich, also beispielsweise auch im Hexadezimalsystem.
Nachfolgend einige Stammbrüche in Bruchsummendarstellung mit Beschränkung auf jeweils 10 tragende Ziffern:

Quotient (dezimal)	Dezimalbruch	Hexadezimalbruch
1/1	1	1
1/2	0,5	0,8
1/3	0,3333333333	0,5555555555
1/4	0,25	0,4
1/5	0,2	0,333333333
1/6	0,1666666666	0,2AAAAAAAAA
1/7	0,1428571428	0,2492492492
1/8	0,125	0,2
1/9	0,1111111111	0,1C71C71C71
1/10	0,1	0,1999999999
1/11	0,0909090909	0,1745D1745D
1/12	0,08333333333	0,1555555555
1/13	0,07692307692	0,13B13B13B1
1/14	0,07142857142	0,1249249249
1/15	0,06666666666	0,1111111111
1/16	0,0625	0,1
1/17	0,05882352941	0,0F0F0F0F0F
1/18	0,05555555555	0,0E38E38E38E
1/19	0,05263157894	0,0D79435E50D
1/20	0,05	0,0CCCCCCCCCC