rationale Näherung für Quadratwurzeln

1	4	9	16	25	36	49	64	81	100
121	144	169	196	225	256	289	324	361	400
441	484	529	576	625	676	729	784	841	900
961	1024	1089	1156	1225	1296	1369	1444	1521	1600
1681	1764	1849	1936	2025	2116	2209	2304	2401	2500
2601	2704	2809	2916	3025	3136	3249	3364	3481	3600
3721	3844	3969	4096	4225	4356	4489	4624	4761	4900
5041	5184	5329	5476	5625	5776	5929	6084	6241	6400
6561	6724	6889	7056	7225	7396	7569	7744	7921	8100
8281	8464	8649	8836	9025	9216	9409	9604	9801	10000
10201	10404	10609	10816	11025	11236	11449	11664	11881	12100
12321	12544	12769	12996	13225	13456	13689	13924	14161	14400
14641	14884	15129	15376	15625	15876	16129	16384	16641	16900

Nun müssen diese Werte noch mit dem Radikanden multipliziert werden und das Ergebnis mit der nächstgelegenen Quadratzahl verglichen werden.

Wurzel 2

das Doppelte der Quadratzahlen

2	8	18	32	50	72	98	128	162	200
242	288	338	392	450	512	578	648	722	800
882	968	1058	1152	1250	1352	1458	1568	1682	1800
1922	2048	2178	2312	2450	2592	2738	2888	3042	3200
3362	3528	3698	3872	4050	4232	4418	4608	4802	5000
5202	5408	5618	5832	6050	6272	6498	6728	6962	7200
7442	7688	7938	8192	8450	8712	8978	9248	9522	9800

und nun die Näherungen

Zähler	Nenner	prozentualer Fehler
3	2	11
7	5	2
17	12	0,3
41	29	0,06
99	70	0,01

Wurzel 3

das Dreifache der Quadratzahlen

3	12	27	48	75	108	147	192	243	300
363	432	507	588	675	768	867	972	1083	1200
1323	1452	1587	1728	1875	2028	2187	2352	2523	2700
2883	3072	3267	3468	3675	3888	4107	4332	4563	4800
5043	5292	5547	5808	6075	6348	6627	6912	7203	7500
7803	8112	8427	8748	9075	9408	9747	10092

und nun die Näherungen

Zähler	Nenner	prozentualer Fehler
2	1	25
7	4	2
19	11	0,6
26	15	0,1
71	41	0,04
97	56	0,01

Wurzel 5

das Fünffache der Quadratzahlen

5	20	45	80	125	180	245	320	405	500
605	720	845	980	1125	1280	1445	1620	1805	2000
2205	2420	2645	2880	3125	3380	3645	3920	4205	4500
4805	5120	5445	5780	6125	6480	6845	7220	7605	8000
8405	8820	9245	9680	10125	10580	11045	11520	12005	12500

und nun die Näherungen

Zähler	Nenner	prozentualer Fehler
2	1	25
9	4	1
29	13	0,5
38	17	0,07
85	37	0,07
123	55	0,03

Wurzel 6

Mit Wurzel 2 * Wurzel 3 = Wurzel 6 ergibt sich eine Näherung von 9603/3920 mit einem möglichen Fehler von 0,02%.

das Sechsfache der Quadratzahlen

6	24	54	96	150	216	294	384	486	600
726	864	1014	1176	1350	1536	1734	1944	2166	2400
2646	2904	3174	3456	3750	4056	4374	4704	5046	5400
5766	6144	6534	6936	7350	7776	8214	8664	9126	9600

und nun die Näherungen

Zähler	Nenner	prozentualer Fehler
5	2	4
17	7	2
22	9	0,4
27	11	0,4
49	20	0,04
71	29	0,1

Wurzel 7

das Siebenfache der Quadratzahlen

7	28	63	112	175	252	343	448	567	700
847	1008	1183	1372	1575	1792	2023	2268	2527	2800
3087	3388	3703	4032	4375	4732	5103	5488	5887	6300
6727	7168	7623	8092	8575	9072	9583	10108	10647	11200

und nun die Näherungen

Zähler	Nenner	prozentualer Fehler
8	3	2
37	14	0,2
45	17	0,1
82	31	0,04

Wurzel 10

Mit Wurzel 2 * Wurzel 5 = Wurzel 10 ergibt sich eine Näherung von 1107/350 mit einem möglichen Fehler von 0,04%.

das Zehnfache der Quadratzahlen

10	40	90	160	250	360	490	640	810	1000
1210	1440	1690	1960	2250	2560	2890	3240	3610	4000
4410	4840	5290	5760	6250	6760	7290	7840	8410	9000
9610	10240	10890	11560	12250	12960	13690	14440	15210	16000

und nun die Näherungen

Zähler	Nenner	prozentualer Fehler
3	1	11
13	4	5
16	5	2
19	6	0,3
22	7	1
117	37	0,007

Wurzel 40 ≈ 234/37

Wurzel 11

das Elffache der Quadratzahlen

11	44	99	176	275	396	539	704	891	1100
1331	1584	1859	2156	2475	2816	3179	3564	3971	4400
4851	5324	5819	6336	6875	7436	8019	8624	9251	9900
10571	11264	11979	12716	13475	14256	15059	15884	16731	17600

und nun die Näherungen

Zähler	Nenner	prozentualer Fehler
10	3	1
63	19	0,05

faktorisierende Vereinfachungen

Wurzel 13

das Dreizehnfache der Quadratzahlen

13	52	117	208	325	468	637	832	1053	1300
1573	1872	2197	2548	2925	3328	3757	4212	4693	5200
5733	6292	6877	7488	8125	8788	9477	10192	10933	11700
12493	13312	14157	15028	15925	16848	17797	18772	19773	20800

und nun die Näherungen

Zähler	Nenner	prozentualer Fehler
18	5	0,3
101	28	0,09
119	33	0,03
137	38	0,02

Wurzel 17

das Siebzehnfache der Quadratzahlen

17	68	153	272	425	612	833	1088	1377	1700
2057	2448	2873	3332	3825	4352	4913	5508	6137	6800
7497	8228	8993	9792	10625	11492	12393	13328	14297	15300

und nun die Näherungen

Zähler	Nenner	prozentualer Fehler
33	8	0,09

Wurzel 19

das Neunzehnfache der Quadratzahlen

19	76	171	304	475	684	931	1216	1539	1900
2299	2736	3211	3724	4275	4864	5491	6156	6859	7600
8379	9196	10051	10944	11875	12844	13851	14896	15979	17100

und nun die Näherungen

Zähler	Nenner	prozentualer Fehler
13	3	1
48	11	0,2
61	14	0,08
109	25	0,05

beste Näherungen im gewählten Rahmen, sortiert

Radikand	Wert
1	1
4	2
9	3
16	4
25	5
36	6
49	7
64	8
81	9
100	10

Radikand	Näherung
2	99/70
3	97/56
5	123/55
6	9603/3920
7	82/31
8	99/35
10	117/37
11	63/19
12	97/28
13	137/38
14	4059/1085
15	11931/3080
17	33/8
18	297/70
19	109/25
20	246/55
21	3977/868
22	891/190
24	9603/1960

Radikand	Näherung
26	13563/2660
27	291/56
28	164/31
30	11349/2072
32	198/35
33	873/152
34	3267/560
35	10086/1705
38	10791/1750
39	13289/2128
40	234/37
42	393723/60760
44	126/19
45	369/55
48	97/14
50	99/14

Radikand	Näherung
51	3201/448
52	137/19
54	28809/3920
55	7749/1045
56	8118/1085
57	10573/1400
60	11931/1540
63	246/31
65	16851/2090
66	86427/10640
68	33/4
70	9594/589
72	297/35
75	485/56

Radikand	Näherung
76	218/25
77	5166/589
78	1315611/148960
80	492/55
84	3977/434
85	369/40
88	891/95
90	351/37
91	5617/589
95	13407/1375
96	9603/980
98	99/10
99	189/19