Innenwinkelsumme eines geschlossenen zweidimensionalen Polygons

Titelanalyse

Innenwinkelsumme: Summe aller Innenwinkel

Warum geschlossen? Sonst gäbe es kein Innen und Außen. Die Figur würde dann allerdings auch nicht als Polygon bezeichnet.

Warum zweidimensional? Weil so mögliche Störfaktoren für die Rechnung ausgeblendet werden.

Polygon: zweidimensionales Gebilde aus Strecken und Winkeln, die Anzahl beider ist gleich und wird in der Konkretisierung genannt.

Eine weitere geläufige Bezeichnung für Polygon ist n-Eck, wobei n für die Anzahl steht.

Die Berechnung

Zunächst einmal wird eine einzelne Ecke betrachtet.

ι sei der Innenwinkel - er kann einen Wert zwischen 0° und 360° haben.

κ sei der Knickwinkel - er kann einen Wert zwischen -180° und 180° haben, ist also je nach Richtung positiv oder negativ.

Weiter gilt: ι+κ=180°.

Σ(ι+κ)=n·180°

und wegen der geschlossenen Figur: Σκ=360°.

Nun ist Σι+Σκ=Σ(ι+κ)

⇔ Σι=Σ(ι+κ)-Σκ

= n·180°-360°
= (n-2)·180°


Die Innenwinkelsumme beträgt also (n-2)·180° mit n = Anzahl der Ecken.


Die Außenwinkelsumme beträgt entsprechend (n+2)·180°.

weitergehende Überlegungen

Die gefundene Formel erlaubt es, auch geometrischen Unsinn zu analysieren.

Die Zahl der Ecken und Kanten ist ganzzahlig, davon soll in der Überlegung auch nicht abgewichen werden!

Das Zweieck

zwei Ecken, zwei Kanten; die zweite Kante ist gleich der ersten, aber um 180° gedreht.

Innenwinkelsumme ist 0. Beide Innenwinkel sind 0.

Physikalisch gibt es bei dieser Figur aber kein "innen".

Außenwinkelsumme ist 720°, beide einzelnen Außenwinkel je 360°.

Das Eineck

Nicht vorstellbar, wie eine geschlossene Figur mit nur einer Ecke aussehen soll!

Der Innenwinkel beträgt -180°, das widerspricht bereits der Festlegung einer Ecke.

Der Außenwinkel beträgt 540°, jedoch kann ein einzelner Winkel nicht größer als 360° sein. Noch ein Widerspruch!

Ein Eineck kann folglich nicht existieren.

Die Theorie des Nullecks

Ein Nulleck widerspricht schon per se dem Polygonprinzip. Es geht also nur darum, was die Formeln auswerfen.

Als theoretische Innenwinkelsumme ergibt sich -360°, also ein negativer Vollkreis.

Als theoretische Außenwinkelsumme ergibt sich 360°, also ein positiver Vollkreis.

Der gleiche Betrag bei unterschiedlichem Vorzeichen hebt die Grenze zwischen Innen und Außen auf.

negative Polygone

Es ergeben sich die gleichen Beträge wie beim positiven Pendant, nur sind innen und außen sowie positiv und negativ vertauscht.