negative Polygone
Die negativen Polygone können verallgemeinert werden, da sie wie ihre positiven Entsprechungen aussehen, bloß „innen” und „außen” sind vertauscht.echtes Nulleck
Wo keine Ecken sind, kann auch kein Polygon entstehen. Das echte Nulleck ist also nichts.Zusammenfassung: 0 Ecken, 0 Kanten
Nullkant / nulldimensionales Eineck
einzelner Punkt ohne Kante, für obige Formel ist n=0. Es gibt keine Trennung von „innen” und „außen”.Zusammenfassung: 1 Ecke, 0 Kanten
Einkant
Das rechnerische Eineck, also mit n=1.Es ist nur als Doppelschleife winkelsummenkonform, wobei zwei Ecken, die sich gegenüberstehen, in der Mitte, also dem Schnittpunkt, der Doppelschleife entstehen.
Der Schnittwinkel beträgt 90°.
Zusammenfassung: 2 Ecken, 1 Kante
eindimensionales Zweieck
2 Ecken, 1 Kante; Anmerkung: im Gegensatz zum Einkant auch in der Ebene möglich.Die Kante ist die „Strecke” und die Ecken sind die Endpunkte.
zweidimensionales Zweieck
2 Ecken, 2 Kanten, 1 Fläche (Wert:0)Man sollte es sich als Rechteck mit einem Seitenpaar der Länge 0 (sowie einem Seitenpaar einer angegebenen Länge) vorstellen.
In der Ebene sind beide Kanten zwangsläufig gleich lang.
In einer graphischen Darstellung sind Ungenauigkeiten unvermeidbar. Konkret: Bei korrekter Lage ist nur eine Kante sichtbar, und macht man beide Kanten sichtbar, ist der Abstand nicht 0, obwohl er es planmäßig sein sollte.
Dreieck
Das Dreieck ist die Basisfigur der zweidimensionalen Geometrie.Höherwertige Polygone können in n-2 bis n Dreiecke zerlegt werden, um den Flächeninhalt zu bestimmen.
Ein beliebiges Dreieck kann wiederum in zwei rechtwinklige aufgeteilt werden.
Trigonometrie heißt wörtlich Dreiecksvermessung.
allgemeine Eigenschaften: 3 Ecken, 3 Kanten, 1 Fläche.
Umfang: a+b+c; Fläche: b·c/2 · sinα (oder a·c/2 · sinβ oder a·b/2 · sinγ)
rechtwinkliges Dreieck
Die Summe der Kathetenquadrate ist gleich dem Hypotenusenquadrat (Pythagoras).Katheten: Schenkel am rechten Winkel, Hypotenuse: dem rechten Winkel gegenüber.
Die Winkelfunktionen entsprechenden den Seitenverhältnissen:
Sinus = Gegenkathete/Hypotenuse, Kosinus = Ankathete/Hypotenuse, Tangens = Gegenkathete/Ankathete.
Es gibt noch drei weitere Winkelfunktionen, die aber jeweils Kehrwerte der genannten sind.
gleichschenkliges Dreieck
Ein gleichschenkliges Dreieck ist symmetrisch zu seiner Mittelachse. Diese bildet zur Sehne einen rechten Winkel.Ein gleichschenkliges Dreieck hat zwei gleichlange Seiten und zwei gleichgroße Winkel.
Ein gleichschenkliges Dreieck kann auch rechtwinklig sein. In dem Fall betragen die beiden gleichen Winkel jeweils 45°.
gleichseitiges Dreieck
Ein gleichseitiges Dreieck ist ein regelmäßiges Dreieck. Alle Seiten sind gleich lang, und alle Winkel sind gleich groß (60°).Ein gleichseitiges Dreieck ist immer auch gleichschenklig.
Viereck
Ein überstreckter Innenwinkel (>180°) ist möglich, was bei drei Ecken nicht der Fall wäre.allgemeine Eigenschaften: 4 Ecken, 4 Kanten, 1 Fläche.
Das dreidimensionale Viereck hat 4 Ecken, 6 Kanten und 4 Flächen und wird auch Simplex 3 oder Tetraeder genannt.
Quadrat
Die Grundfigur der Flächenberechnung: Rechnerisch werden Flächen in Quadrate zerlegt und diese gezählt.Daher stammt auch die Bezeichnung „Quadrat” für die 2. Potenz, bzw. Einheiten wie „Quadratmeter”
Das Quadrat ist das regelmäßige Viereck. Alle Kanten sind gleich lang, und jeder Innenwinkel ist 90°.
Steht a für die Kantenlänge, so ist die Fläche a².
Rechteck
Jeweils zwei sich gegenüberliegende Seiten sind gleich lang, und jeder Innenwinkel ist 90°.Mit den Kantenlängen a und b ist die Fläche a·b.
Parallelogramm
Jeweils zwei sich gegenüberliegende Seiten sind gleich lang und verlaufen parallel.Jeweils zwei sich gegenüberliegende Winkel sind gleich groß, benachbarte Winkel sind zueinander komplementär.
Schneidet man vom Parallelogramm ein rechtwinkliges Dreieck ab und setzt es auf der gegenüberliegenden Seite (nicht gedreht) wieder an, entsteht ein Rechteck.
(Vorausgesetzt, die Schrägkante bleibt dabei ganz.)
Trapez
Das Trapez hat zwei unterschiedlich lange, aber parallele Grundseiten, deren Abstand als „Höhe” bezeichnet wird, und zwei konvergente Schrägseiten, die sich aber nicht in der Figur berühren.Die Fläche ist: (arithmetisches Mittel der Grundseiten) mal Höhe.
beliebiges Viereck
Gehört ein Viereck keiner der vorgenannten Kategorien an, erfolgt zur Flächenberechnung eine Zerlegung in zwei Dreiecke, deren Teilflächen ermittelt und schließlich addiert werden.höherwertige Polygone
Bis zu n-3 Innenwinkel können überstreckt sein.Die Flächenberechnung erfolgt durch Zerlegung in Teildreiecke (üblich: n-2).
Mit zunehmender Eckenzahl steigt auch die Zahl möglicher Formen.
Allen gemein ist: n Ecken, n Kanten, 1 Fläche.
Kreis
Weit verbreitet ist die Vorstellung, der Kreis habe keine Ecken. Doch im Gegenteil: Je mehr Ecken ein regelmäßiges Polygon hat, desto ähnlicher ist es dem Kreis.Ein Kreis hat also so viele Ecken, daß man die einzelnen Ecken nicht mehr abgrenzen kann.
Die Kantenlänge eines Segments ist nicht genau 0, der zugehörige Winkel nicht genau 180°.
Einzige meßbare Strecke ist der Kreisdurchmesser. Den Abstand zwischen Mittelpunkt und Kreislinie nennt man Radius. Sein Wert ist die Hälfte des Durchmessers.
Die Kreiszahl π ist sowohl für den Umfang als auch für die Fläche von Bedeutung:
Umfang: 2πr, Fläche: πr².
Ein Einheitskreis hat den Radius 1. Durch Ein- und Überschreiben rechtwinkliger Dreiecke werden die Werte der trigonometrischen Funktionen abgelesen.
Abbildung links: Einheitskreis mit einem Winkel im ersten Quadranten und die Meßpunkte für die trigonometrischen Funktionen.
Länge des Kreisbogenabschnitts: x
Dreieck 1 (eingeschrieben): Gegenkathete = sin x, Ankathete = cos x, Hypotenuse = 1
Dreieck 2: Gegenkathete = tan x, Ankathete =1, Hypotenuse = sec x
Dreieck 3: Gegenkathete = 1, Ankathete = cot x, Hypotenuse = cosec x
| Quadrant | sin x, cosec x | cos x, sec x | tan x, cot x |
| I | >0 | >0 | >0 |
| II | >0 | <0 | <0 |
| III | <0 | <0 | >0 |
| IV | <0 | >0 | <0 |
