Gesetze mathematischer Verknüpfungen

Kommutativgesetz

Das Kommutativgesetz gilt, wenn die Richtung der Verknüpfung frei wählbar ist.

Anwendungen:

Vereinigung von Mengen: A ∪ B = B ∪ A
Schnittmenge: A ∩ B = B ∩ A
logisches UND: A∧B = B∧A
logisches ODER: A∨B = B∨A
Addition: a+b=b+a
Multiplikation: a·b=b·a

Formulierungen für nicht kommutative Verknüpfungen

Differenzmenge: A\B = (¬B)\(¬A)
Subtraktion: a-b=(-b)+a
Division: a/b=(1/b)·a

Assoziativgesetz

Das Assoziativgesetz gilt, wenn die Reihenfolge der Verknüpfungen frei wählbar ist.

Anwendungen:

Vereinigung von Mengen: (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
Schnittmenge: (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
logisches UND: (A ∧ B) ∧ C = A ∧ (B ∧ C)
logisches ODER: (A ∨ B) ∨ C = A ∨ (B ∨ C)
Addition: (a+b)+c = a+(b+c)
Multiplikation: (a·b)·c = a·(b·c)

Formulierungen für nicht assoziative Verknüpfungen

Differenzmenge: (A\B)\C = A\(B∪C)
Subtraktion: (a-b)-c = a-(b+c)
Division: (a/b)/c = a/(b·c)

Distributivgesetz

Hier geht es um die Zerlegbarkeit von Ketten.

Anwendungen

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
A ∧ (B ∨ C) = (A ∧ B) ∨ (A ∧ C)
A ∨ (B ∧ C) = (A ∨ B) ∧ (A ∨ C)
a·(b+c) = a·b + a·c
a·(b-c) = a·b - a·c

Relationsregeln

a=b ∧ a=c ⇒ b=c
a<b ∧ b<c ⇒ a<c
a>b ∧ b>c ⇒ a>c

Boolesche Inversion

¬¬A = A
¬(A ∧ B) = (¬A)∨(¬B)
¬(A ∨ B) = (¬A)∧(¬B)