Fakultät

Die Fakultät ist festgelegt als das Produkt aller Natürlichen Zahlen von 1 bis zu einem Nennwert.
Symbol der Fakultät ist das Ausrufezeichen.
Es gilt: n!·(n+1) = (n+1)!

Das kann umgeformt werden in:

(n+1)!
(n+1)

Daraus ergibt sich: 0! = 1 und (-1)! wächst über alle Grenzen.

einige Funktionswerte:

n	-1	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
n!	→∞	1	1	2	6	24	120	720	5 040	40 320	362 880	3 628 800	39 916 800	479 001 600	6 227 020 800	87 178 291 200	1 307 674 368 000

Das Problem mit -1 kann auf alle negativen Ganzzahlen verallgemeinert werden: Von negativen Ganzzahlen gibt es keine Fakultät.

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Überlegung zu möglichen Zwischenwerten

Es wäre schön, eine Formel zu haben, mit der Zwischenwerte eindeutig berechnet werden können. Aber die gibt es nicht.
Eine Verzerrung der Funktion, um eine andere Schrittweite zu ermöglichen? Die kann mit der Hauptfunktion nicht zur Deckung gebracht werden!
Die einzige Chance besteht darin, im Experiment Werte zu ermitteln. Aber nur wenn alle Wege die gleichen Ergebnisse liefern, kann eine Gültigkeit überhaupt angenommen werden.

x	Oberschnitt	Unterschnitt	arithmetisch	geometrisch
-2,5	2,6667	2,6667	kein Wert
-1,5	-4	-4
-0,5	2	2
0,5	1	1	1	1
1,5	1,5	1,5	1,5	1,4142
2,5	5	3,75	4	3,4641
3,5	21	13,125	15	12
4,5	108	59,063	72	53,666

Mindestens drei der vier Ansätze müssen falsch sein. Also mit einer Gegenprobe filtern: Ist das Bildungsgesetz für die Schrittweite 1 erfüllt?
Oberschnitt: nein, Unterschnitt: ja, arithmetische Reihe: nein, geometrische Reihe: nein.
Also kann die Unterschnitt-Formel zur Bestimmung der Zwischenwerte verwendet werden:

(n+d)!=	n	(i+d)
	Π
	i=1

Bedingungen: n ≥ 1; n∈ℕ; 0 ≤ d ≤ 1.
Stellen <1 können daraus wiederum mit der Schrittweite-1-Regel Werte zugeordnet werden.

Tabelle mit Zwischenwerten

x	2,9	2,7	2,5	2,3	2,1	1,9	1,7	1,5	1,3	1,1	0,9	0,7	0,5	0,3	0,1	-0,1	-0,3	-0,5	-0,7	-0,9	-0,99	-0,999
x!	5,51	4,59	3,75	2,99	2,31	1,9	1,7	1,5	1,3	1,1	1	1	1	1	1	1,11111	1,42857	2	3,33333	10	100	1000

x	-1,1	-1,3	-1,5	-1,7	-1,9	-2,1	-2,3	-2,5	-2,7	-2,9	-3,1	-3,3	-3,5	-3,7	-3,9
x!	-11,1111	-4,7619	-4	-4,7619	-11,1111	10,101	3,663	2,66667	2,80112	5,84795	-4,81	-1,59261	-1,06667	-1,03745	-2,01654

Damit verbleiben Lücken bei allen negativen Ganzzahlen und bei allen irrationalen Zahlen. Letztere können aber ignoriert werden, da ohnehin mit rationalen Näherungen gerechnet wird.
Beispiele: e!≈4,67077427 π!≈7,68064878

In der graphischen Darstellung betrachten wir nur den Niedrigwertanteil des stetigen Bereichs:


links: offizielle Fakultätsfunktion, rechts mit Zwischenwerten nach Unterschnittverfahren, dazu in violett der Graph einer Umkehrfunktion.

Es sei nochmals betont, daß sich das Unterschnittverfahren von der Gammafunktion unterscheidet, auch wenn sich die Kurvenverläufe ähneln. Das ist ein wichtiger Grund, warum der offiziellen Fakultätsfunktion keine Zwischenwerte hinzugefügt werden.
Der Vorteil des Unterschnittverfahrens liegt in der einfachen Berechenbarkeit, der Nachteil bei einem Knick an jeder natürlichen Zahl.
Die Funktion ist also in unendlich viele Abschnitte eingeteilt mit einem jeweiligen Gültigkeitsbereich zwischen zwei benachbarten ganzen Zahlen.
Für x>0 werden ganzrationale und für x<0 gebrochen rationale Funktionen verwendet.

Die Umkehrfunktion

Namensvorschlag: Habität
Symbolvorschlag: ?
Der Name ist nicht wirklich wichtig, deshalb heißt es in der Überschrift auch nur „Umkehrfunktion”.
Die Teilfunktionen sind Wurzeln, allerdings fehlen Formeln zur Konkretisierung. Deshalb sind die Werte im Bereich des dritten Grades durch Eingrenzen ermittelt worden.
Obwohl die erweiterte Fakultät jeden Wert außer 0 annehmen kann, soll die Habität nur für x≥1 definiert sein. Dadurch werden Sprünge vermieden.

x	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
x?	1	2	2,3028	2,5616	2,7913	3	3,0867	3,1663	3,24	3,3089	3,3736	3,4348	3,4929	3,5483	3,6012	3,6521

Das Differenzial

Da jeder Einerschritt eine andere Funktionsgleichung hat, unterscheiden sich auch die Differenzialabschnitte entsprechend.

Abschnitt	Ableitungsfunktion	Zusatzinformationen
-3<x<-2	-(3x²+12x+11)/(x+1)²(x+2)²(x+3)²	Tiefpunkt (-2,577\|2,598)
-2<x<-1	-(2x+3)/(x+1)²(x+2)²	Hochpunkt (-1,5\|-4)
-1<x<0	-1/(x+1)²
0<x<1	0	kein gültiges Extrem
1<x<2	1
2<x<3	2x-1
3<x<4	3x²-6x+2

Ausgerechnet für die Ganzen Zahlen ist diese Kette nicht definiert. Hier kommt nun ein anderes Verfahren zum Einsatz:
die Steigung einer Sekanten durch die Nachbarpunkte der Original-Fakultätsfunktion: f'(x)=((n+1)!-(n-1)!)/2 .
Allerdings funktioniert das nur für positive Zahlen und bereits nicht mehr für die Null.

x	0	1	2	3	4
linksseitige Ableitung	-1	0	1	5	26
rechtsseitige Ableitung	0	1	3	11	50
Steigung der proximalen Sekante	n.d.	0,5	2,5	11	57

Das macht alles nur noch schlimmer! Also bleibt das eine Überlegung ohne Anwendung.
Interessant sind die Ableitungen sowieso nur für den negativen Bereich, um die Positionen der Nadelspitzen zu bestimmen.
Da es offenbar keine Wendepunkte gibt, ist auch eine Ableitung zweiten Grades nicht erforderlich.

Auch auf das Integral sei hier verzichtet, da es den Zweck der Gedankenspiele übersteigen würde.

Zusammenfassung

Die Fakultät ist nur für natürliche Zahlen eindeutig festgelegt.
Differenzial- und Integralrechnung vertragen sich nicht damit.
Die Fakultät negativer Ganzzahlen ist wegen der Division durch Null nicht definiert.